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東京大学 前期 1985年 解答解説 このページの閲覧数
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東京大学 前期 1985年 第2問 (解答解説)

📝 問題

平面において，を原点，を定点とする． また，，は円周の上を動く2点であって， 線分から正の向きにまわって線分にいたる角と， 線分から正の向きにまわって線分にいたる角が等しいという関係が成り立っているものとする．

点を通り軸に垂直な直線と軸との交点を， 点を通り軸に垂直な直線と軸との交点をとする． 実数を与えたとき， 線分の長さがと等しくなるような点，の位置は何通りあるか．

✏️ 解答解説

【解答】

単位円上の動点 $P, Q$ と $x$ 軸への垂足 $R, S$

図 1: 単位円上の動点 と 軸への垂足

線分から線分へ向かう角度をとする． すると題意よりの座標は，となる． 故にこれらの軸の垂足は，であるから，線分の長さは

である．のグラフは横軸をにとると以下のようになる．

関数 $y = |2\cos^2 t - \cos t - 1|$ のグラフと直線 $y = l$ の交点

図 2: 関数 のグラフと直線 の交点

線分の長さとの対応関係は，との共有点である． 従って図からとの対応関係は以下のようになる．

の値・範囲 の個数 の具体的な値・範囲
に個
に個
に 個
なし

表 1: と の対応関係

また，との数の対応関係は以下のようである．

の値 の個数具体例・備考
個
個otherwise

表 2: の値と () の個数の対応

よって，との位置関係が一対一対応であることより，求める場合の数は以下の通りである．(答)

の個数 の個数 の位置の数

表 3: の値に対する解の個数の対応

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