東京大学 前期 1985年 第5問 (解答解説)

【解答】

である事象を とおくと，題意より が独立だから

となる．

また となるのはなる時だから

であり，題意よりこれが に等しいから

である．

(式1)を(式3)の左辺に代入して

である．

以下，任意の に対して

であることを数学的帰納法により示す．

の時は明らかに成立するから， 以下 での(式5)の成立を仮定する． (式4)にを代入して，(式5)から

である．で両辺を割ると

となり， でも(式5)は成立する． 以上から数学的帰納法により任意の非負整数で(式5)が成立する．

確率が全体でになる条件 に(式5)を代入する． は明らかに不適なので， として非負整数までの和を計算すると

である． これがで収束するのは， の時で，このもとで(式8)は

に収束する．これがに等しいから

である．これは をみたすので十分である．

(式5)に代入して

だから， として題意の無限和は

となる．