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東京大学 前期 1985年 解答解説 このページの閲覧数
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東京大学 前期 1985年 第3問 (解答解説)

📝 問題

を正の数とする． 空間において，点をとし， 軸を含み点を通る平面に関してと対称な点を， 軸を含み点を通る平面に関してと対称な点をとする． また，原点をとする． 4点，，，を頂点とする4面体の体積を求めよ．

✏️ 解答解説

【解答】

軸()を含みを通る平面は

であり，軸()を含みを通る平面は

となる．

四面体$O$-$PQR$と，対称の軸となる2平面$z=\dfrac{y}{t}$（$x$軸を含む），$z=\dfrac{x}{t}$（$y$軸を含む）．$N$は辺$QR$の中点

図 1: 四面体-と，対称の軸となる2平面（軸を含む），（軸を含む）．は辺の中点

の座標について考える．(式1)がを含まないから，も上にあり，この平面でみた時の切断面は以下のようになる．

平面$x=t$による切断面（$y$-$z$平面）．直線$z=\dfrac{y}{t}$に関して$P(t,0)$と対称な点が$Q(Y,Z)$であり，中点$M$はこの直線上にあり，線分$PQ$はこの直線と直交する

図 2: 平面による切断面（-平面）．直線に関してと対称な点がであり，中点はこの直線上にあり，線分はこの直線と直交する

そこでとおくと，とが対称な点である条件は，の中点が(式1)上にあることと，が(式1)と直交することで

が上

となる．また，(式1),(式2)の対称性からの座標は となる．

四面体 $O\text{-}PQR$ と対称面 $\triangle OPN$．$N$ は辺 $QR$ の中点であり，線分 $QR$ は平面 $OPN$ と垂直である

図 3: 四面体 と対称面 ． は辺 の中点であり，線分 は平面 と垂直である

さて，以上よりを頂点とする四面体の体積を求めれば良い．線分 の中点を とすると，平面 に関して立体は対称かつ，線分は平面と垂直だから，求める体積は

と書ける．各項計算すると

および

だから，(式5)に代入して

が求める体積である．

【別解】

点の座標がでたら，サラスの公式から直接体積を以下のように計算できる．

【解説】

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