【解答】
図 1: 三角形は平面上にあり，辺上の点を中心とする半径の球を考える．点が三角形の辺上を動くとき，この球が通過する部分全体が立体である
三角形の辺の長さを求めると，
である．だから，三角形はの直角三角形であり，
，から，である．この様子を下図に示す．
図 2: 三角形．，，の直角三角形
点が辺上を動くときにできる半径の円の通過部分は下図の斜線部のようになる．
図 3: 半径の円の通過部分（灰色部，面積）．内側の破線が，辺を内側にだけ移した小さい相似な三角形の境界
(1)
下図のように，点が辺上を動くときにできる半径の円の通過部分の面積は，三角形から各辺を内側に距離だけ移した小さい相似な三角形を除いた部分(）と，半径の円（各頂点における扇形の中心角の和は外角の和に等しいから，合わせてちょうど1つの円になる，）と，3辺に沿った3つの長方形()に分けられる．すなわち
である．
図 4: 三角形と，辺を内側にだけ移した三角形，円の通過領域．
図 5: を構成する5つの部分．：辺を内側にだけ移した小三角形をから除いた部分，：3頂点の扇形を合わせた半径の円，：辺に沿った幅の長方形
以下各項を個別に考えよう．まずは半径の円だから
である．ついではそれぞれ幅, 長さはだから
である．
図 6: 三角形と，辺を内側にだけ移した三角形．頂点（内角の場合を例示．一般の頂点，内角でも同様）について，直線の延長が辺と交わる点をとする．から辺へ下ろした垂線の足をとすると，垂線の長さがであることから．また，から辺へ下ろした垂線の足をとすると，垂線の長さがであることから．同様にから辺へ下ろした垂線の足をとすると，垂線の長さがであることから
最後にについて考える．上図で内側の小さい三角形について考えると
だから，はからの面積を引いたもので
である．
(式5),(式6),(式12)を(式4)に代入して求める面積は
である．
(2)
表記の簡略化のため，（）とおく．
平面による立体の切り口を考える．
この平面での球の切り口は半径の円である．
よって(1)と同様に考えると，
三角形のまわりを半径の円が通過した部分である．
この面積をとすると，(1)の計算のをに置き換えて計算すれば良い．
図 7: 半径の円が三角形の辺上を通過した部分．三角形から各辺を内側に距離だけ移した三角形を除いた部分，半径の扇形を合わせた円，幅の長方形に分けられる
(1)と同様に図形をラベルすると，それぞれの面積は
だから，
である．
もとめる体積は対称性（はの偶関数）から
である．
と置換すると，であり，はに対応するから，(式21),(式22)より
となる．各項を個別に計算すると
だから，(式23)に代入して
となり，
である．
