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東京大学 前期 1984年 解答解説 このページの閲覧数
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東京大学 前期 1984年 第6問 (解答解説)

📝 問題

平面において， 不等式の表す領域をとし， 不等式の表す領域をとする．

このとき，次の条件(＊)を満たす点全体の集合を求め，これを図示せよ．

  1. (＊)　に関してと対称な領域をとするとき，

    が同時に成り立つ． ただし，は空集合を表すものとする．

✏️ 解答解説

【解答】

の領域は

である．とのグラフは下図のようになる．

領域 $D:x^2\le y$（斜線）と $E:(x-4)^2\le y$（斜線）

図 1: 領域 （斜線）と （斜線）

ついで の領域について考える． をに関して対称移動すると，

にうつるから，

となる．

さて，簡単のため題意の条件を

とおく． まずが成り立たないといけないから および が共有点を持つ． さらにからつの曲線全ての共有点は存在しない．よって題意のの条件は

  1. とがに共有点を持つ．

  2. とがに共有点を持つ．

すなわち

  1. がのみに実解を持つ．

  2. がのみに実解を持つ．

である．

$D,E,U$ の位置関係（代表例 $a=1,b=\dfrac{3}{2}$）．$D,E$ は斜線，$U$ は灰色で示す．$U$ の境界 $y=f(x)$ は $D$ と $x<2$ で，$E$ と $2<x$ でのみ交わる

図 2: の位置関係（代表例 ）． は斜線， は灰色で示す． の境界 は と で， と でのみ交わる

がのみに実解を持つ

$y=g(x)$ の概形（代表例）．頂点の $x$ 座標 $a<2$ かつ $g(2)>0$ のとき，$2$ 解はともに $x<2$ の範囲にある

図 3: の概形（代表例）．頂点の 座標 かつ のとき， 解はともに の範囲にある

を整理して

の左辺とおき，判別式をとおく． がにのみ実解をもつ条件は，

軸端

である．

がのみに実解を持つ

$y=h(x)$ の概形（代表例）．頂点の $x$ 座標 $2+a>2$ かつ $h(2)>0$ のとき，$2$ 解はともに $2<x$ の範囲にある

図 4: の概形（代表例）．頂点の 座標 かつ のとき， 解はともに の範囲にある

を整理して

の左辺とおき，判別式をとおく． がにのみ実解をもつ条件は，

軸端

である．

以上をまとめて(式10)かつ(式14)が求める条件で， 図示すると下図斜線部である．境界は実線のみ含む．

よって領域は以下の通りである．(答)

$(a,b)$ 平面における求める領域（灰色部）．下側境界（実線）は含み，上側境界 $b=2(a-1)^2+2$（破線）と両端点 $(0,4),(2,4)$ は含まない

図 5: 平面における求める領域（灰色部）．下側境界（実線）は含み，上側境界 （破線）と両端点 は含まない

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