アーカイブ一覧へ戻る
東京大学 前期 1984年 解答解説 このページの閲覧数
前の年度 1983年 次の年度 1985年
🧭 1984年度の関連ナビゲーション:
第1問 (問題) 第1問 (解答) 第2問 (問題) 第2問 (解答) 第3問 (問題) 第3問 (解答) 第4問 (問題) 第4問 (解答) 第5問 (問題) 第5問 (解答) 第6問 (問題) 第6問 (解答)

この問題のOpen Issue（1件）

GitHubで確認 ↗

情報取得：。最新の状態はGitHubで確認できます。

東京大学 前期 1984年 第1問 (解答解説)

📝 問題

空間内の点の集合 に含まれ， 原点 において 軸に接し， 平面と の傾きをなす， 半径1の円板 がある． 座標が の位置にある点光源 により， 平面上に投ぜられた円板 の影を とする．

図 1

図 1

  1. の輪郭を表す 平面上の曲線の方程式を求めよ．

  2. 円板 と影 の間にはさまれ，光の届かない部分のつくる立体の体積を求めよ．

✏️ 解答解説

【解答】

(1)

点光源 $P$，円 $C$（平面 $y=z$ 内），および $z=0$ 平面上の影 $S$ の境界 $T$

図 1: 点光源 ，円 （平面 内），および 平面上の影 の境界

平面 $x=0$（$yz$ 平面）による切断面．円 $C$ はこの平面を点 $O$ と $(0,\sqrt{2},\sqrt{2})$ で切り，$P$ から直線 $y=z$ への距離 $\ell$ が (2) で用いる円錐の高さになる

図 2: 平面 （ 平面）による切断面．円 はこの平面を点 と で切り， から直線 への距離 が (2) で用いる円錐の高さになる

点光源のある点をとする．影の境界の曲線をとし，上の点をとする． 題意から，の中心は であり，または平面にあるから， の外周上の点の満たす式は

となる．の条件は，直線がと交わることである．直線はパラメータを用いて

と表せるから，これが(式1)を満たすが存在すれば良い． (式2)を(式1)に代入して

　　

に注意して，第一式から

だから，第二式に代入してもとめるの方程式は

答

である．

(2)

求める体積とすれば，

円錐円錐

である．円錐P-C’は(1)より底面積，高さの円錐で，この体積として

となる．

次に円錐P-Cについて，この高さは平面と点の距離に等しく，点と直線の距離の公式から

であり，底面積は半径の円のそれである．故に体積として

である． (式9),(式11)を(式8)に代入して

答

である．

この解答の誤りや分かりにくい点に気づきましたか？ GitHubで報告する