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東京大学 前期 1984年 解答解説 このページの閲覧数
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東京大学 前期 1984年 第4問 (解答解説)

📝 問題

空間内に，3点， ， を頂点とする正3角形の板がある． を軸のまわりに1回転させたとき， が通過する点全体のつくる立体の体積を求めよ．

✏️ 解答解説

【解答】

正三角形の板 $S$（頂点 $P, Q, R$）と回転軸（$z$ 軸）の空間配置

図 1: 正三角形の板 （頂点 ）と回転軸（ 軸）の空間配置

辺，の方程式はそれぞれ以下のようになる．

これらと平面の交点をとすると，いずれも

に対応するから，

として

である． 故に，図形のでの切断面は

となる．これを図示すると下図の太線部である．

平面 $z=k$ による板 $S$ の切断面（線分部）

図 2: 平面 による板 の切断面（線分部）

したがって，切断面上の点と原点との距離の最大小値はそれぞれおよびで

である．故にこの平面での回転体の切断面は，下図のようにドーナツ型の領域になる．

平面 $z=k$ での回転体の切断面（円環・斜線部）

図 3: 平面 での回転体の切断面（円環・斜線部）

この面積は

となる．従って求める体積は

答

となる．

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