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東京大学 前期 1983年 解答解説 このページの閲覧数
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東京大学 前期 1983年 第4問 (解答解説)

📝 問題

平面上の で表される領域を とする． に含まれる1辺の長さ の正方形で，各辺が座標軸と平行または の角をなすものをすべて考える．

このとき，これらの正方形の中心の 座標の最小値を の関数として表し，そのグラフをかけ．

図 1

図 1

✏️ 解答解説

【解答】

放物線 $y=x^2$ に内接する正方形の3通りの配置

図 1: 放物線 に内接する正方形の3通りの配置

中心が 軸上にないものは中心が 軸上にくるよう平行移動することでより 座標を小さくできるから，中心が 軸上にあるもののみ考える．この時， 座標が最小になるのは，以下のいずれかの場合である．

  1. 　正方形の下2辺が にある

  2. 　正方形の対角線上の点2つが にある

  3. 　1つの頂点が原点にある

座標 とおいて()，それぞれの場合についてを求める．

の時

この時，正方形の右下の頂点の座標はだから，

である．

の時

この時，正方形の右側の頂点の座標はだから

である．

この時，一番下の頂点 が原点より上にあることが必要で，

である．

の時

この時は

である．正方形の右側の頂点が に含まれていることが必要で，

である．

(式1),(式2),(式4),(式5),(式6)から，各区間で最小のものが求めるである． を図示すると下図になる．

$f_1(t), f_2(t), f_3(t)$ と $f(t)$ のグラフ

図 2: と のグラフ

よって求める関数は

である

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