東京大学 前期 1983年 第3問 (解答解説)

【解答】

円を含む平面を平面とし，を原点，（）とする．直線は軸方向だから，はと直交し平面とをなす直線として，方向ベクトル がとれる．

上の点をパラメータを用いて

とする．対称性から以下として考える． また実数を用いて上の点はと表せる．

このときは

である．まずを固定してを動かした時の最小値を考える． だから，コーシー・シュワルツの不等式より

であり，等号はのときに成り立つ．したがって(式3)からの最小値は

で与えられる． 以下を動かした時のの最小値を考える． そこでの一階微分を考えると

だから，の値によって場合分けする．

以上(i),(ii)より，求める円と直線の最短距離は

である．(答)

【別解】

[解]と同じ設定のもとで，(式1),(式3)を用いる． [解]ではを固定して先にを動かしたが，今度はを固定して先にを動かす．

(式3)をについて平方完成すると

である．はを動くから，(式18)を最小にするのは，区間のうちに最も近いをとるときである．