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東京大学 前期 1982年 解答解説 このページの閲覧数
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東京大学 前期 1982年 第3問 (解答解説)

📝 問題

平面において，点 は原点 を中心とする半径1の円周の第1象限にある部分を動き，点 は 軸上を動く． ただし，線分 の長さは1であり，線分 は両端 ， 以外の点 で円周と交わるものとする．

図 1

図 1

  1. の取りうる値の範囲を求めよ．

  2. の長さを で表せ．

  3. 線分 の中点を とするとき，線分 の長さの範囲を求めよ．

✏️ 解答解説

【解答】

(1)

二等辺三角形 $\triangle OAB$ と線分 $AB$ 上の交点 $C$，および線分 $MC$

図 1: 二等辺三角形 と線分 上の交点 ，および線分

題意よりの範囲で考える．円周上の点はと表せる． 題意より，はの二等辺三角形だからとなる． 以下，簡単のためと略記する． 線分の方程式は，に注意して，

である．これが円周と交わるので，と連立してを消去した

がに解を持つ．従ってに注意してのとりうる範囲は

である．(答)

(2)

(1)から点の座標はである．さらにの傾きは(式3)から であるから，は

である．(答)

(3)

よりである．故にである． また，が二等辺三角形だから である． これらに注意してに余弦定理を用いて

　

となる．

$p = \sin^2\theta$ に対する $|MC|^2 = 8\left(p - \dfrac{11}{16}\right)^2 + \dfrac{7}{32}$ の増減と最大・最小

図 2: に対する の増減と最大・最小

(式10)からであることを考慮すると，の最大最小は

である．から，

である．(答)

【別解】

(1)

点 $A$ での接線の $x$ 切片 $\dfrac{1}{c}$，点 $B(2c, 0)$，および交差条件 $1 < 2c < \dfrac{1}{c}$

図 3: 点 での接線の 切片 ，点 ，および交差条件

での円の接線の切片はであるから， 円周が上に凸であることに注意して，が交わるための条件は

である．(答)

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