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東京大学 前期 1982年 解答解説 このページの閲覧数
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東京大学 前期 1982年 第6問 (解答解説)

📝 問題

サイコロが1の目を上面にして置いてある． 向かいあった一組の面の中心を通る直線のまわりに90回転する操作をくりかえすことにより， サイコロの置きかたを変えていく． ただし，各回ごとに，回転軸および回転する向きの選びかたは，それぞれ同様に確からしいとする．

第回目の操作のあとに1の目が上面にある確率を， 側面のどこかにある確率を， 底面にある確率をとする．

  1. ，，を求めよ．

  2. ，，を，，で表わせ．

  3. ， ， を求めよ．

✏️ 解答解説

【解答】

まずは回転の数について考えると， 回転軸の選び方が通り，各々について右ねじと左ねじ通り回転の選び方があるので， あわせて通りの回転が同様に確からしい．

(1)

最初の面が上においてある状態から，回目の操作でが上になるのは，の面を通る回転軸を選んだ場合だから

である．が底面にくることはないからで，側面にくるのはそれ以外の場合で

である．以上をまとめて

である．(答)

(2)

回目の操作後から回目の操作を行ったときの遷移は以下のようになる．

従って漸化式は

である．(答)

(3)

(2)からは定数であるからについて考えればからは求まる． (2)で得られた漸化式を変形して

だから繰り返し用いて，初項は(1)のと合わせて

である．従って残るは

である．また，は明白である．以上をまとめて

である．(答)

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