東京大学前期 1981年第6問 (解答解説)

【解答】

(1)

は最大でも次の関数である．まずの場合，すなわちが三次関数の場合を考える． (イ)，(ロ)および因数定理から，

と書ける．そこで以下，(ハ)の条件について考える．絶対値を外すと

である．これらはでは自動で満たされ，それ以外の点ではで両辺を割って

となる．以下これを満たすようなの条件を考えよう．今はの場合を考えているのではともに二次関数である．の正負によって場合分けする．

の時

$a>0$ における2次関数 $g(x) \le 0$ ($0 \le x < 1$) の条件 — 図 1: における2次関数 () の条件

まずについての条件は

である．

$a>0$ における $h(x) \ge 0$（$-1 < x \le 0$）の軸の位置による条件の分類 — 図 2: における（）の軸の位置による条件の分類

ついでについての条件は軸の位置で場合分けする．すなわち，軸がに含まれていればの判別式()が非正であればよく，軸が区間の外にあれば両端でが正であれば良い：

となる．ここでよりだから，第一式を満たすはなく，第二式だけを考えれば良い．

である．

(式6),(式10)をまとめて，(ハ)を満たすようなの条件は

である．に注意してこれをについて整理すると

であり，図示すると下図の斜線部のようになる．

$a > 0$ における連立不等式を満たす $(a, \alpha)$ 平面の領域 — 図 3: における連立不等式を満たす平面の領域

従って求める条件は

である．

の時

の条件はの軸の位置で場合分けする．の判別式とおく．

である．だからであり，第一式を満たすは存在しないから第二式だけ考えればよく，

である．

次にの条件は

である．

(式18),(式20)をまとめて

である．に注意してについて整理すると

であり，図示すると下図の斜線部のようになる．

従って求める条件は

以上をまとめると

である．

ここで，だから，係数比較して

である．従って(式25)に代入してを消去すると

である．

さて次にの時を考える．が次以下だと(イ)(ロ)の両方を同時に満たせず不適なのでのもとで考えればよく，(イ)(ロ)から

とおける．すなわちである．

$a=0$ における $f(x) = b(x^2-1)$ と折れ線 $y = 1 - |x|$ の関係 — 図 5: におけると折れ線の関係

(ハ)の条件を図形的に考えると，が二次関数だから条件は

である．従っての時は(式27)に吸収できて，最終的に求める条件は

である．特にの条件を図示すると下図の斜線部（境界を含む）である．

$(a,b)$ 平面における条件を満たす領域 — 図 6: 平面における条件を満たす領域

(2)

(1)で求めたのうちで，与えられた定積分

を最小にするものを考える．

(1)から

とおける．一階微分は

だから，被積分関数は

奇 数 次 項

と展開できるから，(式31)に代入して

となる．

(1)のの動く領域から，が最小になるのはの時のである．この時は

である．

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【解答】

(1)

の時

の時

(2)