東京大学 前期 1981年 第1問 (解答解説)

【解答】

題意のように2つの要素から成るの部分集合を個とり出し，そのうちのどの2つも交わりが空集合であるようにする方法について考える．この時，取り出した個がいずれも相異なるから，の要素 個から 個をとり出し，これを つずつの組に分ける場合の数と同じである．

したがって， のもとで求める場合の数は

である． 一方で の時は 通りである．以上まとめて，

である．

次に について考える． だから だから， のもとで考えれば良い． (式4)から

である． ここで，連続した個の整数は で割り切れるから， はで割り切れる． よって として，

とおける． (式7)に代入して

を得る． また同様に は で割り切れるから， の時 が で割り切れることになり不適である．よってのいずれかが必要である．

以上から，求めるの組は である．