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東京大学 前期 1980年 解答解説 このページの閲覧数
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東京大学 前期 1980年 第1問 (解答解説)

📝 問題

1辺の長さが1の正三角形の辺，，上に， それぞれ点，，をとなるようにとり， 線分と線分の交点を， 線分と線分の交点を， 線分と線分の交点をとする． として，次の問に答えよ．

  1. ，をを用いて表せ．

  2. 三角形の面積が三角形の面積のになるようなの値を求めよ．

✏️ 解答解説

【解答】

正三角形 $\triangle A'B'C'$ を作る補助線 $AP,BQ,CR$

図 1: 正三角形 を作る補助線

題意の条件

の元で考える．

(1)

対称性から実数を用いて

とおける．

メネラウスの定理を適用する2つの三角形と直線

図 2: メネラウスの定理を適用する2つの三角形と直線

三角形，および三角形にメネラウスの定理を用いて

とかける．ここに(式3)を代入して

である．

一方， に余弦定理を用いて，

である．

(式5)を(式8)に代入して，

となる．従って(式5)に代入して

となる． (式9),(式10)をまとめて，求める長さは

である．

(2)

は一辺の長さ の正三角形でその面積 は(式10)より

と表せる．これが に等しいので

である． このうち(式1)を満たすのは複合負で，求めるは

である．

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