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東京大学 前期 1980年 解答解説 このページの閲覧数
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東京大学 前期 1980年 第5問 (解答解説)

📝 問題

1辺の長さが1の正四面体がある． 点はこの正四面体の辺上を毎秒1の速さで動き， 各頂点に達したとき， そこから出る3辺のうちの1辺をずつの確率で選んで進む． は時刻において頂点にあるとする． またを0または正の整数とし， 点が時刻において頂点にある確率をで表す．

  1. 数学的帰納法を用いて，を証明せよ．

  2. との値を求めよ．

✏️ 解答解説

【解答】

四面体 $A_i$ 上の各頂点間の遷移

図 1: 四面体 上の各頂点間の遷移

まずについて考えると，で頂点にいるのは，で頂点以外にいて，そこから確率で頂点に来た時だから，

となる． 初期条件は題意より，において頂点にあることから

である．

(1)

数学的帰納法でを証明する． (式2)からでは題意が成立する． そこででの成立を仮定すれば，(式1)より自明にでもこの条件は成立する． 従って数学的帰納法により．

である．

(2)

(式1)を変形して

だから繰り返し用いて

である． 初期条件は(式2)より，だから代入して

が求める値である．(答)

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