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東京大学 前期 1980年 解答解説 このページの閲覧数
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東京大学 前期 1980年 第2問 (解答解説)

📝 問題

長さ2の線分を直径とする球面がある． 点において球面に接する平面の上で， を中心とする半径2の四分円(円周のの長さをもつ円弧) と線分をあわせて得られる曲線上を，点が1周する． このとき，線分と球面との交点の描く曲線の長さを求めよ．

✏️ 解答解説

【解答】

接平面上の四分円弧 $\stackrel{\frown}{AB}$・線分 $AB$ と，球面 $K$ 上に交点 $Q$ が描く曲線（大円弧および小円弧 $CD$）

図 1: 接平面上の四分円弧 ・線分 と，球面 上に交点 が描く曲線（大円弧および小円弧 ）

と の交点を とする． と の交点を とする． 弧 上を がうごく時， は を両端とする大円の劣弧上を動く． この長さは，半径 の四分円の弧長にひとしく，

である．

次に 線分 上を がうごく時，平面 で を切ると下図の太線部，円弧上をがくまなく動く．

正三角形 $NAB$（1辺 $2\sqrt{2}$）と頂点 $N$ を通る半径 $\dfrac{\sqrt{6}}{3}$ の円，および中心角 $\dfrac{2}{3}\pi$ の円弧 $CD$

図 2: 正三角形 （1辺 ）と頂点 を通る半径 の円，および中心角 の円弧

この円は 辺の長さ の正三角形の外接円だからその半径 である． 円弧は偏角だからその長さは

である．

以上の(式1),(式2)を足したものが求める長さで(これらが 以外で交わらないことから)

である．

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