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東京大学 前期 1981年 解答解説 このページの閲覧数
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東京大学 前期 1981年 第2問 (解答解説)

📝 問題

半径1の円に内接する正6角形の頂点をとする． これらから，任意に(無作為に)えらんだ3点を頂点とする3角形の面積の期待値(平均値)を求めよ． ただし，2つ以上が一致するような3点がえらばれたときは，三角形の面積は0と考える．

✏️ 解答解説

【解答】

正六角形 $A_1 \dots A_6$ と対角線

図 1: 正六角形 と対角線

題意から正六角形の一辺の長さは である． 三角形ができる時の形は以下のつのパターンに分けられる．

  1. 　 形, 面積

  2. 　 形, 面積

  3. 　 形, 面積

のいずれかである． 一つづつ順番に頂点を選んで，順番まで考慮して考えることとすると， つの頂点のえらび方 通りが同様にたしからしいことに注意する．

正六角形の3頂点を選んで作られる三角形の3パターンとその面積

図 2: 正六角形の3頂点を選んで作られる三角形の3パターンとその面積

以下 つ目に がえらばれたとして残りの二つの頂点の場合の数を数える．

の時

を頂点に含み，と相似なのは 他にの合計つである． 各三角形について二番目に頂点を選んだら三番目の頂点は決定するので， どの頂点を二番目に選ぶかを考えれば，場合の数は

通り

である．

の時

を頂点に含み，と相似なのは 他にの合計つである． 従って場合の数は

通り

である．

の時

このパターンの三角形でを頂点に含むのは一通りしかないので，場合の数は

通り

である．

(式1),(式2),(式3)をまとめて，かつ一つ目に選ぶ頂点はのどれでも良いのでこれらの 倍ずつえらび方がある． よってもとめる面積の期待値は

である．

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