東京大学前期 1981年第4問 (解答解説)

【解答】

与えられた条件

の元で考える．

題意の条件から，は平面上にはなく，とは異なることに注意する．

(ロ)～(ニ)より，軸の方向ベクトルとして，

(式1)およびから両辺二乗しても同値だから，

である．(式4)の右側の不等式から，

だから，(式4),(式5)に代入し直して

である．従って(式1),(式6),(式7),(式8)およびを満たす点の数を求めれば良い以下がか否かで場合分けする．

(式8)およびから

だから，(式7)に代入して

である．ただしとおいた．

(式11)を満たすに対して(式9)からが一意に定まる．で固定だから，結局(式11)を満たすの数が点の数に等しい．

(式11)はの時にはについての二次関数で，判別式として

だから，解の数は

の 時 個 の 時 個 の 時 個

である．解が存在する時は

より(式9)に代入して

である．

一方で ( (式1)) の時， (式11)はとなり，さらに(式9)からとなって，の数はつである．

この時は(式8)からだから，(式7)からとなる．よっては一つである．

以上をまとめて，の数と対応するの座標は

の 時 ， の つ の 時 ， の つ の 時 ， の つ の 時 ， 個 の 時 ， の つ