アーカイブ一覧へ戻る
東京大学 前期 1981年 解答解説 このページの閲覧数
前の年度 1980年 次の年度 1982年
🧭 1981年度の関連ナビゲーション:
第1問 (問題) 第1問 (解答) 第2問 (問題) 第2問 (解答) 第3問 (問題) 第3問 (解答) 第4問 (問題) 第4問 (解答) 第5問 (問題) 第5問 (解答) 第6問 (問題) 第6問 (解答)

この問題のOpen Issue（1件）

GitHubで確認 ↗

情報取得：。最新の状態はGitHubで確認できます。

東京大学 前期 1981年 第3問 (解答解説)

📝 問題

放物線をで表す． 上の点を通り， におけるの接線に垂直な直線を， におけるの法線という． とし， つぎの3条件をみたす点を考える．

  1. 上の点におけるの法線の上にある．

  2. 領域に含まれる．

  3. との距離はである．

が0から1まで変化するとき， のえがく曲線をとする． このとき， ととで囲まれた部分の面積を求めよ．

✏️ 解答解説

【解答】

放物線 $y = x^2$ 上の点 $Q(t, t^2)$ における法線と動点 $P$

図 1: 放物線 上の点 における法線と動点

だから，での法線方向のベクトルは，

と書ける．故に法線上の点は

と書ける． この時

である．従って(ハ)の条件から，

である．ただし条件(ロ)からだから絶対値を外した．

(式5)を(式2)に代入して，は

で表されるパラメータ曲線のうちの部分を動く． を消去して

である．グラフの概形は下図のようになる．

放物線 $y = x^2$ と曲線 $x = f(y)$，および囲まれた領域の面積 $S$（斜線部）

図 2: 放物線 と曲線 ，および囲まれた領域の面積 （斜線部）

求める面積は上図の斜線部で，

である．(答)

この解答の誤りや分かりにくい点に気づきましたか？ GitHubで報告する