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東京大学 前期 1981年 解答解説 このページの閲覧数
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東京大学 前期 1981年 第5問 (解答解説)

📝 問題

とし， 正 角錐の表面を， 底面に含まれない 個の辺で切り開いて得られる展開図を考える． 正 角錐の頂点は， 展開図においては， 異なる 個の点になっている． ここでは， これら 個の点を通る円の半径が1であるような， 正 角錐のみを考えることにする．

図 1

図 1

  1. 各 に対して， このような正 角錐の体積の最大値 を求めよ．

  2. を求めよ．

✏️ 解答解説

【解答】

(1)

正六角錐（$n=6$）の展開図と各幾何パラメータ（$OH_1=x,\ A_1H_1=y$）

図 1: 正六角錐（）の展開図と各幾何パラメータ（）

図のように展開図での正角錐の頂点を とする． 又，底面の各点を とする．簡単のためとする． から に下ろした垂足を とする．

正$n$角錐の底面を構成する二等辺三角形 $\triangle O B_k B_{k+1}$

図 2: 正角錐の底面を構成する二等辺三角形

とおく ()と上図から

と書ける．

次に，正角錐の展開図が半径の円に内接するとき，が円の半径と一致するので

である．

正$n$角錐の軸を含む断面（直角三角形 $\triangle TOH_1$）

図 3: 正角錐の軸を含む断面（直角三角形 ）

ここで正角錐の高さをとして上図の三角形に三平方の定理を用いて

を得る．ここで二つ目の等号に(式2)を用いた．

次に正角錐の底面積 は

となる．従って(式3)と合わせて，体積 は

である．を動かした時のの最大値を求めるため，をで微分すると

である．従っての増減表は下表のようになる．

極大

表 1: の増減表

従って の時に も最大になり，その値は

である．

(2)

とおくと の時に だから，求める極限値は

である．

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