アーカイブ一覧へ戻る
東京大学 前期 1982年 解答解説 このページの閲覧数
前の年度 1981年 次の年度 1983年
🧭 1982年度の関連ナビゲーション:
第1問 (問題) 第1問 (解答) 第2問 (問題) 第2問 (解答) 第3問 (問題) 第3問 (解答) 第4問 (問題) 第4問 (解答) 第5問 (問題) 第5問 (解答) 第6問 (問題) 第6問 (解答)

この問題のOpen Issue（0件）

GitHubで確認 ↗

この問題に紐づくOpen Issueはありません。

情報取得：。最新の状態はGitHubで確認できます。

東京大学 前期 1982年 第2問 (解答解説)

📝 問題

正4面体と半径1の球面とがあって， の6つの辺がすべてに接しているという． の1辺の長さを求めよ． つぎに， の外側にあっての内側にある部分の体積を求めよ．

✏️ 解答解説

【解答】

正四面体の頂点をとし，辺の長さをとする．正四面体の対称性より，球面はの各辺をその中点で接するから，特に辺の中点をそれぞれとすると，はで接する．また，対称性からの中心はの中点を通り辺に垂直な平面（平面）内にある．

正四面体 $T$ と，辺 $AB,CD$ の中点 $N,M$ における球面 $S$ の接点

図 1: 正四面体 と，辺 の中点 における球面 の接点

$BM$ を底辺とする断面三角形 $\triangle ABM$ と球の中心 $O$，接点 $N,M$，および $O$ から直線 $AM$ へ下ろした垂線の足 $H$

図 2: を底辺とする断面三角形 と球の中心 ，接点 ，および から直線 へ下ろした垂線の足

はいずれも辺の正三角形で，はその底辺の中点だから，

である． (式1)よりはの二等辺三角形だから，の中点に対してである．また，だから，にピタゴラスの定理を用いて，

である．

また，球の中心は線分上にあるから，はの直径であり，

である．(式4),(式5)からを消去して，四面体の一辺の長さは

である．(答)

次にの外側にあっての内側にある部分の体積を求める． 平面内に，を原点とし半直線を軸正の方向とする下図のような平面をとる．

$O$ を原点，半直線 $OH$ を $x$ 軸正方向とする $xy$ 平面における断面三角形 $\triangle ABM$ と $S$ の切り口の円 $x^2+y^2=1$，および回転させる斜線部分

図 3: を原点，半直線 を 軸正方向とする 平面における断面三角形 と の切り口の円 ，および回転させる斜線部分

上図の斜線部を軸周りに回転してできる立体の体積とすると，対称性から四面体の各面から飛び出した球の体積はそれぞれ体積であり，

である．

は球欠の体積だからの座標がわかれば体積が求まる．そこで以下について考える． にピタゴラスの定理を用いて

である．ここでは下図に示すように，球のでの切断面の円の半径に等しく，これは

だから，(式8)にとともに代入して

である．従ってだからは

である．よって(式7)より求める体積は

である．(答)

この解答の誤りや分かりにくい点に気づきましたか？ GitHubで報告する