東京大学 前期 1983年 第2問 (解答解説)

【解答】

題意の数列が

であることを数学的帰納法により示す．まず，この形は条件(1)を満たすので，以下条件(2)についてだけ考えれば良い．

の時はより成立する． そこで での成立を仮定すると， は2進数表示でを表す． これらを組み合わせると から までの数を全てつくることができるから，条件(2)より

である必要がある．題意よりは条件(1),(2)を満たす最小の整数だから

である．よって でも(式1)は成立するので数学的帰納法により

である．

【解説】

[解]では2進数表示を考えることによってからを作れることを示したが，ここにも数学的帰納法を用いても以下のように示せる．

で仮定してについて考える． について は仮定よりつくれるから，

よって でも成立して示された．