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東京大学 前期 1983年 解答解説 このページの閲覧数
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東京大学 前期 1983年 第5問 (解答解説)

📝 問題

正四角錐 に内接する球を とする． をいろいろ変えるとき， 比 の表面積の表面積 のとりうる値のうち， 最大のものを求めよ．

ここで正四角錐とは，底面が正方形で， 底面の中心と頂点を結ぶ直線が底面に垂直であるような角錐のこととする．

図 1

図 1

✏️ 解答解説

【解答】

の半径をに規格化して考え，の底面の辺の長さをとする． の底面を，頂点をとし，をそれぞれ辺の中点とする． この様子を下図に示す．

正四角錐 $V$ と，辺 $AB,DC$ の中点 $P,Q$

図 1: 正四角錐 と，辺 の中点

平面で立体を切断すると，対称性から球の中心はこの平面に含まれる． は二等辺三角形だからとする．

平面$EPQ$による断面（三角形$EPQ$）と球$S$の大円（中心$O$，半径$1$）

図 2: 平面による断面（三角形）と球の大円（中心，半径）

は三角形の内心だからの二等分線上にあり，についても同様だから，

である． また，の中点をとするとは直角三角形でだから

である．

ここでとおく．および半角の公式と(式1),(式2)から

である．

の表面積をそれぞれとする．は底面と，底辺・高さの合同な枚の側面の和だから，(式3)を用いて

である．また半径の球の表面積として

である．

(式8),(式9)より

である．ただし，より途中でAM-GM不等式

を用いた．等号成立はである．

したがって，求めるの最大値は

である．(答)

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