【解答】
題意の放物線が偶関数であることから，曲面の方程式はをで置き換えて
である．また対称性からの方程式は
として良い．
図 1: 放物線の回転面と，原点を通り回転軸とをなす平面
これらを平面で切断すると
となり，題意の立体の断面の領域は
，図示すると下図の斜線部となる．
ただし，二つの曲線の交点の座標をとして
である．
図 2: 平面による断面（斜線部）
さて，の存在条件は実数の存在条件と同じで，(式5)から
である．
(式5),(式7)のもとで，この平面内での断面積は
である．従ってこれをについて積分して，求める体積は
だが，各項計算すると
および
だから(式19)に代入して
となる．
【別解】
[解]では一定の平面で切断したが，問題の立体が単純なので他の平面で切ってもうまくいく．ここでは一定平面で切断する例を示す．
平面で立体を切断する．この平面内で(式1)からは
と表され，(式2)からはによらずのままである．
の交点の座標は，すなわち
の解であり，これを解いて
となる．この2解をとすると，であり，またの存在条件からである．
この平面内での断面（となる領域）は下図斜線部である．
図 3: 平面による断面（斜線部）
この面積をとすると，
である．
(式1),(式2)はいずれもをに置き換えても不変だから，である．したがって対称性より，求める体積は
となる．
以下，とおき，と略記する．であり，のときに注意する．まず第一項は半径の四分円の面積だから
である．次に
である．(式40),(式46)を(式39)に代入して
となるから，
である．(答)
