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東京大学 前期 1979年 解答解説 このページの閲覧数
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東京大学 前期 1979年 第2問 (解答解説)

📝 問題

図のように，半径1の球が， ある円錐の内部にはめこまれる形で接しているとする． 球と円錐面が接する点の全体は円をなすが， その円を含む平面を とする．

円錐の頂点を とし， に関して と同じ側にある球の部分を とする． また， に関して と同じ側にある球面の部分および円錐面の部分で囲まれる立体を とする． いま， の体積が球の体積の半分に等しいという．

そのときの の体積を求めよ．

図 1

図 1

✏️ 解答解説

【解答】

からに下ろした垂足をとし，とおく．また球の中心をとする．

円錐に内接する球と接円（平面 $\alpha$），および対称軸 $OP$ の3次元配置

図 1: 円錐に内接する球と接円（平面 ），および対称軸 の3次元配置

この立体を，を含む平面で切ると，切断面は対称性から下図のようになる．

球と円錐の対称軸を含む断面，および回転して立体 $D$ を得る領域（斜線部）

図 2: 球と円錐の対称軸を含む断面，および回転して立体 を得る領域（斜線部）

ここでを原点，を軸正方向とする座標平面を定め，接点をとしてとする．ただしとする．

は円の接線と軸の交点だから，となる．従って

である．は図の斜線部分を軸のまわりに回転した立体であるから，その体積は円錐から球欠を取り除いたもので

となる． これが球の体積の半分に等しいので，

となる．このときの体積は

である．

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