東京大学 前期 1979年 第4問 (解答解説)

【解答】

を原点とする座標平面で考える．対称性からとしてよい． を原点とする半径の円を，を中心とする半径の円をとすると，これらの方程式は

であり，，は上にある．

また，，の二つの交点とすると，この座標はである．を座標が正の方とすると

となる．（）とすると

である．

とおくと，，の座標は

となる．これらの様子を下図に示す．

さて，が単位円の内部または周上にある条件は

である．以下簡単のために，とするとは

である．従ってとして(式6),(式7)を代入すると

である．(式5)より

であり，この区間はを含む． よってこの時で最小となり， 最大値は区間の両端の値のうち大きい方である． 最小値は

である．また(式3)から，なので

となり両端での値は同じで，これらが同時に最大値となる．

以上から求める最大値と最小値は

である．