東京大学 前期 1979年 第2問 (問題)

図のように，半径1の球が， ある円錐の内部にはめこまれる形で接しているとする． 球と円錐面が接する点の全体は円をなすが， その円を含む平面を とする．

円錐の頂点を とし， に関して と同じ側にある球の部分を とする． また， に関して と同じ側にある球面の部分および円錐面の部分で囲まれる立体を とする． いま， の体積が球の体積の半分に等しいという．

そのときの の体積を求めよ．