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東京大学 前期 1979年 解答解説 このページの閲覧数
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東京大学 前期 1979年 第6問 (解答解説)

📝 問題

を正の定数とし， 座標平面上に3点 ，， が与えられたとする．

から に垂線をおろし，それと との交点を とする．

から に垂線をおろし，それと との交点を とする．

以下同様にくり返し，一般に が得られたとき，

から に垂線をおろし， それと との交点を とする．

このとき次の問に答えよ．

図 1

図 1

  1. の座標を求めよ．

  2. 上の操作をつづけていくとき， はどのような点に限りなく近づくか．

✏️ 解答解説

【解答】

題意から三角形はすべて辺の長さの相似である． ，とする．

繰り返される垂線と相似な直角三角形の連鎖（$\triangle P_0P_1P_2$ と $\triangle P_4P_5P_6$）

図 1: 繰り返される垂線と相似な直角三角形の連鎖（ と ）

軸を実軸，軸を虚軸とする複素数平面で考える． 簡単のために

とおく． ベクトルを表す複素数をとする． 題意より

，

だからの偶奇にかかわらず

である．簡単のためにこの係数を

とおくと，(式3)を繰り返し用いて

，

を得る．初期条件から

，．

だから(式5)に代入すると

，

ついでを具体的に計算する．に注意して

だから，(式3)に代入して

である．

点を表す複素数をとすると，について

式

がなりたつ．

(1)

は(式13)にを代入して

となる．従って

，

である．

(2)

であるから，ではである． 従って(式13),(式14)より偶数番目，奇数番目ともに

となる．従って求める点は

，

である．

【別解】

とは180度逆向きで相似比は である．従って

．

同様に繰り返して，について

となる．ここで

，

であるから

，

となる．相似比から各辺は0に収束するので， 残りの添字の点列も同じ点に収束する．

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