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東京大学 前期 1978年 解答解説 このページの閲覧数
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東京大学 前期 1978年 第6問 (解答解説)

📝 問題

平面において放物線 の， に対応する部分を とする． (すなわち である．) 点 における の接線が直線 ，直線 と交わる点をそれぞれ ， とする． また座標が ，， である三点を， それぞれ ，， とする．

以下つねに という範囲で考えるものとする．

図 1

図 1

  1. ， の面積をそれぞれ ， とするとき， となる の範囲を求めよ．

  2. 線分 および線分 と放物線の一部 で囲まれた範囲を とする． ただし はその周である線分 ， および を含むものとする． いま 上の点 を頂点とし， に含まれるような三角形のうちで， 最大の面積を持つものの面積を とする． 関数 を求め，そのグラフを描け． また の極値を求めよ． ただし の点 で，関数 が極小値(または極大値)をとるとは， に近い のすべての点 に対して (または ) となることをいう． 極大値と極小値をあわせて極値という．

✏️ 解答解説

【解答】

(1)

とおく．ただしとする． 点 での の接線は だから，この接線との交点の座標は

となる．また，簡単のためから軸，およびに下ろした垂足をとする．

放物線 $y = x^2$ の接線と点 $P(t, t^2)$ における三角形 $\triangle PAC$ および $\triangle PCB$ の配置

図 1: 放物線 の接線と点 における三角形 および の配置

したがって，の面積はそれぞれ

となる． のとき，これらの大小関係は

だから， を に置き換えて，となるのは

の時である．

(2)

三角形の頂点が の弧上にある時，辺の延長上の点と の境界線の交点を新たな頂点とすれば，面積はより大きくなる．したがって三角形の面積が最大の時，3頂点 は の周上にある．

領域 $M$（$y \leqq x^2$ かつ正方形内部）の内側に頂点 $\alpha, \beta$ をとった三角形 $\triangle P\alpha\beta$

図 2: 領域 （ かつ正方形内部）の内側に頂点 をとった三角形

で が の周または内部にあるから，対称性より が 上， が 上にあるとして とおく． 二点が同じ辺上にあるケースは，のいずれかがに一致するケースよりも必ず面積が小さくなるから考えなくて良い．

放物線 が下に凸だから，線分がの内部にあるためにはがでの接線よりも下側になければならない．従って(式1)より

である．以下 の値を固定して考える．

の時

$1^\circ$ における動点 $\alpha(a,0), \beta(1,b)$ と最大面積三角形 $\triangle PAC$（$P\alpha$ に平行な線から $\beta = C$ で高さ最大）

図 3: における動点 と最大面積三角形 （ に平行な線から で高さ最大）

を固定して を考えると， を底辺とみれば の時にこの三角形の高さが最大となる． 次に を動かすと明らかに面積は で最大となる．よってこの時

である．

の時

$2^\circ$ における動点 $\alpha(a,0), \beta(1,b)$ と最大面積三角形 $\triangle PCB$（$P\alpha$ に平行な線から $\beta = B$ で高さ最大）

図 4: における動点 と最大面積三角形 （ に平行な線から で高さ最大）

と同様に考える． において を底辺と見ればの時にこの三角形の高さが最大となる． 次に を動かすと明らかに面積は で最大となる．よってこの時

である． 以上(式9),(式10)をまとめて，(1)の結果と合わせて

である．

次にの増減を調べるために一階微分を計算すると

だから，は単調増加で，の増減表は以下のようになる．

極大

表 1: の増減表

従ってのグラフを図示すると以下のようになる（極大値: ，極小値: ）．

$y = f(t) = \max\{g(t), h(t)\}$ のグラフ（青実線部）

図 5: のグラフ（青実線部）

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