【解答】
【新課程】
(1)
直線の方向ベクトルを，直線の方向ベクトルをとすると，
題意より
である．
これらに垂直なベクトルとして
が取れる．
求める平面は直線を含むので点を通り，かつを法線ベクトルとするから，平面の方程式は
である．
(2)
上の点をパラメータおよび定数を用いて
とかく．これがと交わるので，(1)から
を満たすがある．
(式5)においてそれぞれ対応するをとして
および
を満たす．このようなが存在するようなについて考える．
まず(式8)において第一式と第三式からを消去して
よりまたはである．は第二式を満たさず不適だから
である．次に(式9)において第一式と第三式に(式11)を代入して
だから，これを第二式に代入してを消去すると
だから，
となり，
である．(式11),(式15)よりが必要であり，この時として(式8),(式9)は満たされる．よって求める交点の座標は
である．
【旧課程】
(1)
与えられた関数
について考える．
倍角公式 よりとおくとはの二次関数：
になる． より だから，この範囲でのの最大最小を考えれば良い．平方完成して
だから，この放物線は上に凸で，軸は直線 である．
の大きさによって場合分けする．
の時
図 1: (i) のとき
この時は軸が だから は で単調に減少する．
したがって，最大最小は端点でとり，
である．
のとき
図 2: (ii) のとき
軸について だから最大値は常に頂点でとり，
最小値は軸から遠い方の端点でとる．従って求める最大最小値は
である．
以上をまとめると，
である．
(2)
をで微分して倍角公式を用いると
である．（）とおき，
とする．次方程式 の判別式は であるから，相異なるつの実数解
をもつ．
ここで
であるから，常に である．
一方， については
であるから， の値によって次のように場合分けされる．
の時
より である．
したがって， において となるのは のみである．
図 3: における のグラフ（ での解は のみ）
より， を満たす は
の個存在する．従っての増減表は以下のようになる．
| | | | | | | | | |
|---|
| | | | | | | | | |
| | | | | | | | | |
| | \curvearrowright | 変曲点 | \curvearrowleft | | \curvearrowleft | 変曲点 | \curvearrowright | |
表 1: における の増減・凹凸表
従って変曲点は個である．
の時
この時は， である．
となる点は ， であり，
となる点は である．
従っての増減表は以下のようになる．
| | | | | | | | | |
|---|
| | | | | | | | | |
| | | | | | | | | |
| | (下に凸) | (変曲点) | (上に凸) | (極大) | (上に凸) | (変曲点) | (下に凸) | |
表 2: における の増減・凹凸表
従って変曲点は個である．
の時
より である．
したがって， となり， において となる解が のつ存在する．
これらに対応する を小さい順に
とおくと， である．
従っての増減表は以下のようになる．
| | | | | | | | | |
|---|
| | | | | | | | | |
| | | | | | | | | |
| | (下に凸) | 変曲点 | (上に凸) | 極大 | (上に凸) | 変曲点 | (下に凸) | (極小) |
表 3: における の増減・凹凸表
従って変曲点は個である．
まとめると，
-
のとき：
変曲点の個数は個．
凹凸の変化は，
で下に凸，
で上に凸，
で下に凸
（ただし は を満たす ）．
-
のとき：
変曲点の個数は個．
凹凸の変化は，
で下に凸，
で上に凸，
で下に凸，
で上に凸，
で下に凸
（ただし は ，
は を満たす ）．
