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東京大学 前期 1977年 解答解説 このページの閲覧数
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東京大学 前期 1977年 第4問 (解答解説)

📝 問題

正方形 の頂点 ，，， が それぞれ 平面上の点 ，，， の位置にあるとき， 点 の位置にある正方形 内の点を とする． ただし， とする．

正方形 が上の位置から出発し， 第一象限内において 軸上をその正の向きに滑らずにころがって行くとき， 点 が動いてできる曲線を とする． 3直線 ，， と曲線 とで囲まれる図形を， 軸のまわりに1回転してできる立体を考え， その体積を で表す．

を の式で表せ． が の範囲を動くとき， が最小となる の値および の最小値を求めよ．

正方形$S$の運動

図 1: 正方形の運動

✏️ 解答解説

【解答】

正方形 $S$（一辺 $2$）の転がりに伴う各姿勢（点線）と点 $P$ の軌跡 $C$

図 1: 正方形 （一辺 ）の転がりに伴う各姿勢（点線）と点 の軌跡

半径の正方形が滑らずにころがるとき，点の軌跡を考える．

  1. が点を中心として時計回りに回転するとき： 点は点を中心とし，半径の円弧を描く． 座標はからまで変化するから，この区間の曲線の方程式は

    である．

  2. の次の頂点がに接地し，この点を中心として時計回りに回転するとき： 点と点との距離はである． 座標はからまで変化するから，この区間の曲線の方程式は

    である．

  3. 同様に，さらにがころがるとき，曲線は直線に関して対称である． 実際，各区間の方程式は

    となる．

曲線が直線に関して対称であることから，求める立体の体積は，の部分の回転体の体積の倍に等しい．すなわち

である．そこで以下を計算する．

を各項計算すると

第項

および

第項

である．

したがって(式10),(式16)を(式6)に代入して

これより，求める体積は

である．

において，であり，等号はのとき成り立つ． よって，が最小となるの値およびその最小値は

のとき最小値（答）

である．

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