東京大学 前期 1976年 第4問 (解答解説)

【解答】

(1)

与えられた関数

について考える． 一階微分は

だからの増減表は以下のようになる．

従っての極小値を与えるは

である．がの範囲で動く時のの挙動を調べよう． は(式3)より

である．をで微分すると

であることに注意してをで微分すると

である．(式3)よりではだから，である． 従っての増減表は以下のようになる．

よって，を動かした時のの軌跡は下図のようになる．ただし端点は除く．

(2)

(1)の増減表およびより，との大小によっては以下のようになる．

この二つの大小を比べるとより

だから，(式12)に代入して

であり，特にの時は

は単調増加関数である．これと (1) より求める軌跡は

であり，図示すると下図のようになる．ただし端点の白丸は除く．

【別解】

(1)の解答では連鎖率を用いての微分を計算したが，ゴリ押しで以下のように計算することもできる．(式8)以下，

である．この分子を として整理を続けると

となる．ここで簡単のため

とおくと(式3),(式8)は

だから，まずを(式21)に代入して

を得る．の時，およびだからであり，よって(式17)より

である．