東京大学 前期 1976年 第2問 (解答解説)

\input{macros} \begin{oframed} 時刻に原点を出発し，平面上で次の条件(i)，(ii)に従っていろいろに運動する動点Pがある．

1. におけるPの速度を表すベクトルの成分はである．

2. において，Pは何回か(回以上有限回)直角に左折するが，そのときを除けばPは 一定の速さで直進する．(ただし，左折するのに要する時間はとする)

このとき，時刻においてPが到達する点をQとして，Qの存在しうる範囲を図示せよ． \end{oframed}

【解】

とおく．まず，におけるPの速度を表すベクトルがだとして考える．軸正方向の移動量を，軸正方向の移動量をとすると，題意の条件から

である．これを図示して下図斜線部(境界含む)．

\begin{zahyou}ul=10mm(-2.5,2.5) \def\Fx{-1X+2} \def\Gx{X+2} \def\Hx{-1X-2} \def\Mx{X-2} \YGurafu\Fx{0}{2} \YGurafu\Gx{-2}{0} \YGurafu\Hx{-2}{0} \YGurafu\Mx{0}{2} \YNurii*\Fx\Mx{0}{2} \YNurii*\Gx\Hx{-2}{0} \Put{(2,0)}[ne]{} \Put{(0,2)}[ne]{} \Put{(-2,0)}[nw]{} \Put{(0,-2)}[se]{} \end{zahyou}

これをがの方向にくるまで回転した領域が求める領域で，図示して下図斜線部(境界含む)． (答)

\begin{zahyou}ul=10mm(-2.5,2.5) \tenretu*{ A(1,sqrt(3));B(-sqrt(3),1);C(-1,-sqrt(3));D(sqrt(3),-1)} \Drawline{\A\B\C\D\A} \Put\A[syaei=xy,xlabel=1,ylabel=\sqrt{3}]{} \Nuritubusi*{\A\B\C\D} \end{zahyou}