東京大学 前期 1976年 第1問 (解答解説)

\input{macros} \begin{oframed} 負でない実数，に対して，平面上の曲線

を考え，これを軸の周りに回転してできる回転体の体積をとする． との和が正の定数になるようにとを変化させるとき， の最大値を与えるようなとの値を求めよ． \end{oframed}

【解】

グラフの概形は下図．

\begin{zahyou}ul=15mm(-0.5,1.5) \def\Fx{X*X} \def\Gx{(X-3)**2} \YGurafu\Fx{0}{1} \YGurafu{1}{1}{2} \YGurafu\Gx{2}{3} \Put{(1,1)}[syaei=xy,xlabel=r,ylabel=r^2]{} \Put{(2,1)}[syaei=x,xlabel=r+l]{} \Put{(3,0)}[s]{} \end{zahyou}

また，題意の条件から

である．求める体積は，対称性から

であるから(式2)を代入して

として

である．ただし，から，

である．ここで

の実解を，とする．()

だから，であり，

に注意して，の値によって場合分けする．

\begin{indentation}{2\zw}{0pt} \underline{(i)の時}

下表を得る．

従って，$r=\b$のとき$V$は最大．

\underline{(ii)$0<c\le 1$の時}

下表を得る．

故に$r=\sqrt{c}$のとき$V$は最大．

\end{indentation}

以上および(式2)にも注意して，

のときは最大である．(答)