【解答】
【新課程】
実数について簡単のため，とおく．すると円
の上の点はと書ける．
図 1: 円 上の点 ，点 に関する対称点 ，原点中心 回転点 の幾何配置
従って に関するの対称点は
である．
を正の方向に回転させたは
である．
従って(式2),(式3)からは
とかける．ここで は
を満たす数である．から，
であるから，である．
ゆえにから，の最小最大値は
とかける．
またのときはである．
【旧課程】
図 2: 点 から 3 つの円 への接線とその距離
点の座標をとする．
中心，半径の円に対して点からその円に接線が引けるための必要十分条件は，点が円の外部または周上にあること，すなわちである．
このとき，接点までの距離の乗は三平方の定理よりに等しい．
したがって，各円について条件は以下の通りとなる．
円
中心，半径であるから，接線が引ける条件は
であり，距離は
である．
円
中心，半径であるから，接線が引ける条件は
であり，距離は
である．
円
中心，半径であるから，接線が引ける条件は
であり，距離は
である．
(式12),(式14),(式16)を題意の条件式に代入して整理すると，
を得る．この円をとし，中心を，半径をとおく．
従って求める点の条件はの円周上で(式11),(式13),(式15)を満たす部分である．それぞれの条件について個別に確認する．
円上の点をとおくと円の中心との距離の二乗は
であり，これが円の半径の二乗より大きい条件は
であり，従って円の外側の条件は
である．
円上の点をとおくと円の中心との距離の二乗は
となり，(式13)を満たす．ただし3行目で三角関数の合成を用いた．
よって円上の点は全て円の外側にある．
円上の点をとおくと円の中心との距離の二乗は
となり，(式15)を満たす．ただし3行目で三角関数の合成を用いた．
よって円上の点は全て円の外側にある．
以上全ての場合分けから，求める条件は(式24)である．
この領域を図示すると下図の太線部である（円の内部に含まれる破線部は除く）．
図 3: 点 の軌跡 （太線部）と除外される円弧（破線部）
この円弧の中心角は
であり，円の半径だから円弧の長さは
である．
