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東京大学 前期 1976年 解答解説 このページの閲覧数
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東京大学 前期 1976年 第5問 (解答解説)

📝 問題

【新課程】

軸を軸とする半径の円柱の側面で， 平面より上（軸の正の方向）にあり， 平面より下（軸の負の方向）にある部分をとする． の面積を求めよ．

【旧課程】

点は平面の原点を時刻に出発して，軸上を正の向きに動く． 時刻において

軸曲線軸を通って軸に平行な直線

で囲まれた図形の面積をとする． が点を通過するときのの変化率はに等しいという． このときをの式で表わせ． ただしの座標は時刻の微分可能な関数とする．

✏️ 解答解説

【解答】

【新課程】

をなる実数とする． 簡単のため，とおくと， 円柱側面の点はとおける． がの領域にある時，

を満たすから代入して

である．

\tdplotsetmaincoords{70}{110}

円柱側面 $x^2+y^2=1$ 上の $0 \leqq z \leqq 1 - x + \sqrt{3}y$ による領域

図 1: 円柱側面 上の による領域

の存在条件から

となる．ただし行目で三角関数の合成を用いた．

したがって，求める面積は

となる．（答）

【旧課程】

曲線 $y = \dfrac{x^2+1}{x+1}$ と運動する点 $P(x(t), 0)$ が囲む面積 $S$

図 2: 曲線 と運動する点 が囲む面積

時刻における点の座標をとする． 条件よりであり，は軸上を正の向きに動くから，においてである． においてであるから，時刻において囲まれる図形の面積は

と表される．両辺をで微分すると

である．合成関数の微分法により

となる．題意よりが点を通過するときの変化率はであるから，(式11)の左辺に代入して

が成り立つ．であるから両辺をで割ると

を得る．変数分離形として両辺をで積分すると

より，

である．ただしは積分定数である． のときであるから，よりである． したがって

である．これを(式9)に代入して面積は

である．(式16)を代入して

答

である．

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