東京大学前期 1976年第6問 (解答解説)

【新課程】

，とかく．実数，に対しとおく．いま（，は実数）の形に表わされる行列全体からなる集合をとし，からを除いた集合をとする．

に属する任意のつの行列の積はに属することを示せ．
に属する任意の行列が逆行列をもつとき，点はどのような範囲にあるか．これを図示せよ．

【旧課程】

，，，を実数としてとおく．

方程式が個の相異なる実根をもつとき，実数に対して，方程式の実根の個数を求めよ．
つの方程式，が個の相異なる実根を共有するとき，曲線は軸に平行なある直線に関して対称であることを示せ．

【解答】

【新課程】

(i)

行列について，ケーリー・ハミルトンの定理より

が成り立つ．に属する任意のつの行列を，（は実数）とする．これらの積を展開すると

となる．ここに(式1)を代入すると

となる．およびはいずれも実数であるから，もの形に表される．したがって，であり，題意は示された．

(ii)

を成分で表すと

である．であるから，

である．行列が逆行列をもつための必要十分条件は，行列式がでないこと，すなわちである．の行列式を計算すると

である．したがって，に属する任意の行列が逆行列をもつ条件は，を満たすすべての実数対に対して

が成り立つこと，すなわちを満たす実数解がに限られることである．

のとき: となり，解はのみである．
のとき: 両辺をで割り，とおくと，の次方程式

が得られる．これが実数解をもたないことが必要十分である．

したがって，判別式をとすると

である．ゆえに，求める点の範囲は

答

であり，これを図示すると下図の斜線部分となる（境界線は含まない）．

点$(a, b)$の存在範囲（境界線は含まない） — 図 1: 点の存在範囲（境界線は含まない）

【旧課程】

(i)

方程式の相異なる実根をとする．最高次の係数がであるから

と因数分解される．実数に対して方程式

の実根の個数を調べる．

まずの時はであるから，実根はの個である．そこで以下の場合を考える． ()のとき，かつ（重根をもたないため）であるから，となり，はの根ではない．したがって，のもとで両辺をで割ると，

と同値である．ここで

とおく．一階微分は

であるから，は定義された各区間で単調に減少する．極限値と合わせて増減表は以下のようになる．

表 1: の増減表

各では，左側極限は，右側極限はである．また，ではであるから，グラフは下図のようになる．

$y = h(x)$ のグラフと直線 $y = -\dfrac{1}{k}$ との交点（相異なる 4 実根） — 図 2: のグラフと直線との交点（相異なる 4 実根）

よっての時は解の数はつである．

よって，すべての実数に対して実根の個数は

個 答

である．

(ii)

とが相異なるを解に持つとする．ただしとする．が次のモニック多項式だからを実数として

と書ける．(式20)でを実際に2階微分すると

となる．ここにを代入すると

だから，辺々足し引きして

第二式を両辺で割って

だから第一式に代入して

である．以上を(式20)に代入すると

である．での折り返しを考えてとすると

だから，はを境に対称である．この直線は軸に平行であるから，題意は示された．

$f(x)=0$ と $f''(x)=0$ の共通解 $\alpha, \beta$ をもつ線対称な 4 次関数 — 図 3: との共通解をもつ線対称な 4 次関数

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【新課程】

【旧課程】

【解答】

【新課程】

(i)

(ii)

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(i)

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