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東京大学 前期 1975年 解答解説 このページの閲覧数
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東京大学 前期 1975年 第6問 (解答解説)

📝 問題

赤球が一個と白球が三個入った容器と，ほかに赤球と白球の入った容器とがある．

いま，，，から無作為に一個ずつ合計三個の球を取り出し， これらからやはり無作為に一個をとってにかえすという操作をくり返す．

ただし容器から赤球が取り出される確率と白球が取り出される確率とは共に に保たれており， 容器からはつねに赤球が取り出されるものとする．

  1. 上記の操作を回くり返したとき， 容器に個の赤球が入っている確率を， で表せば，関係式

    が成り立つことを証明せよ． ただしまたはのときはと定める．

  2. 回目の操作を終えたときの中にある赤球の数の期待値を求めよ．

  3. を求めよ．

✏️ 解答解説

【解答】

(1)

に赤玉が 個入っている時，1回試行をして， の赤玉が1つ増える確率 ，変化しない確率 ，1つ減る確率 とおく．

1回の試行における玉の取り出しと戻しの分岐フロー

図 1: 1回の試行における玉の取り出しと戻しの分岐フロー

赤玉の個数 $x$ に関する状態遷移図

図 2: 赤玉の個数 に関する状態遷移図

上の遷移図から，

であるから， 回目の試行の後に に赤い玉が入っている確率は， 回目の個数 で場合分けして

となる．よって題意は示された．

(2)

(式9)の両辺にを書けると

であるから， として足し合わせると

となる．

以下各項計算する． 簡単のため とする．に注意して

を得る．これらを(式9)に代入してについての漸化式は

となる．

初項について考える．はじめ には赤1個と白3個が入っていたのでであるから，(式13)より

である．

(3)

(式14)での極限をとって

である．

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