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東京大学 前期 1975年 解答解説 このページの閲覧数
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東京大学 前期 1975年 第1問 (解答解説)

📝 問題

三角形において，，，とする． この三角形の二辺の上に両端をもつ線分によって， この三角形の面積を二等分する． そのようなの長さが最短になる場合の， との位置を求めよ．

✏️ 解答解説
【自動文字起こし・要確認】

【解答】

が2辺 上にある時

(1) $P, Q$ が2辺 $CA, AB$ 上にある場合の線分 $PQ$ の最小配置

図 1: (1) が2辺 上にある場合の線分 の最小配置

が2辺 上にある時， が ， が 上にあるとして良い． とする． 題意から三角形の面積が三角形の面積の半分だから

が成り立つ．

さらに に余弦定理を用いて

である．ここで だから(式3)の右辺にAM-GM不等式を適用して

である．ただし最終行で(式1)を用いた． 等号成立は の時である．

ここで について余弦定理を用いて

だから(式6)に代入して

であり，この場合のの最小値は

である．

が2辺 上にある時

(2) $P, Q$ が2辺 $AB, BC$ 上にある場合の線分 $PQ$ の最小配置

図 2: (2) が2辺 上にある場合の線分 の最小配置

最初のケースと全く同様に考えると，まず三角形の面積の条件より

であり，について余弦定理より

である．従って(式3),(式6)に対応して

より

である．等号成立はの時である．

が2辺 上にある時

(3) $P, Q$ が2辺 $BC, CA$ 上にある場合の線分 $PQ$ の最小配置

図 3: (3) が2辺 上にある場合の線分 の最小配置

最初のケースと全く同様に考えると，まず三角形の面積の条件より

であり，について余弦定理より

である．従って(式3),(式6)に対応して

より

である．等号成立はの時である．

以上(式9),(式16),(式23)の最小値が求める答えに対応するから， 2辺BC, CA上のCからの距離がである2点である．

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