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東京大学 前期 1975年 解答解説 このページの閲覧数
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東京大学 前期 1975年 第5問 (解答解説)

📝 問題

図のように球 に内接する球の列 ， がある． の中心 と の中心 はすべて同一平面上にあり， は の表面上にあって， この平面上において と は直線 に関して互いに反対側にある． また の半径は ， の半径は である． このとき，

図 1

図 1

  1. と の共通部分の体積 を求めよ．

  2. に対して， とおくとき， を求めよ．

✏️ 解答解説

【解答】

(1)

題意のの半径を

とおく．

円とについて考えよう． を原点とし， を 軸とする下図のような平面をとる．

球 $S_n, S_{n+1}$ の断面円 $C_n, C_{n+1}$ と交差領域（回転軸：$x$ 軸）

図 1: 球 の断面円 と交差領域（回転軸： 軸）

この平面での の断面の方程式は，の中心がの表面上にあることから

である．これらの交点の 座標は，二つの方程式を辺々引いて

である．

従って求める体積は二つの球欠の体積の和であり， 軸へ倍した座標で考えると，

とかける．

規格化座標 $(x', y')$ における積分領域の分割

図 2: 規格化座標 における積分領域の分割

各項計算すると

だから，(式8)に代入して求める体積は

である．

(2)

(式16)をと和をとってからの極限をとると

となる．

【解説】

覚えておくと便利なのが球欠の体積公式である．半径の球を中心からの距離のところで切断した球欠の体積は 対応する球扇から円錐の体積を引けば良いので

と書ける．(式11),(式14)に実際にこの公式を用いると

と計算出来る．

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