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東京大学 前期 1974年 解答解説 このページの閲覧数
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東京大学 前期 1974年 第5問 (解答解説)

📝 問題

原点に中心をもつ半径2の固定された円板をとする． 半径1の円板を，その中心が点に重なるように置くとき， 点に重なるの周上の点をとする． を，の周囲に沿って滑らないようにころがして， が軸の正の方向となす角がになったときの， の位置の座標をとする．

が0からまで動くとして，次の問に答えよ．

  1. ととをの関数として表わせ．

  2. の最大値を求めよ．

  3. の描く曲線の弧の長さを求めよ．

✏️ 解答解説

【解答】

固定円板 $A$ の周上を滑らずに転がる円板 $B$ と点 $M(X,Y)$ の位置

図 1: 固定円板 の周上を滑らずに転がる円板 と点 の位置

(1)

グラフから

で，各項計算すると

だから，三倍角の公式より

である．(答)

(2)

(式3)の両辺をで微分して

であり，下表を得る．

表 1: の変化に対する の増減表

$0\le\theta\le\dfrac{\pi}{2}$ における点 $M(X,Y)$ の軌跡

図 2: における点 の軌跡

従っての最大値はである．(答)

(3)

求める孤長とすると，(式4)より

である．(答)

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