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東京大学 前期 1974年 解答解説 このページの閲覧数
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東京大学 前期 1974年 第2問 (解答解説)

📝 問題

長さの線分が，その両端を放物線の上にのせて動く． この線分の中点が軸にもっとも近い場合のの座標を求めよ． ただしとする．

✏️ 解答解説

【解答】

放物線 $y=x^2$ 上に両端をのせて動く長さ $l$ の線分 $AB$ とその中点 $M(X,Y)$

図 1: 放物線 上に両端をのせて動く長さ の線分 とその中点

線分の両端を，とする．ただし

とする．だから

となる． ここで，とおいて，，の存在条件を調べる． まずは(式1),(式4)に代入して

である．

次にであるから，，はの次方程式の異なる実解であるから，判別式として

である．これは(式5)より常に成立するから，の条件式は(式5)である．

このもとでとしてが最小となる場合を考えれば良い()． それぞれの座標は

である． (式5)からを代入して

である．等号成立は

の時である．この時(式7)より

だから，求める座標は

である．

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