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東京大学 前期 1974年 解答解説 このページの閲覧数
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東京大学 前期 1974年 第6問 (解答解説)

📝 問題

あるスポーツにおいて，，二チームが試合をして，さきに三回勝った方を優勝とする． 一回の試合でが勝つ確率を，が勝つ確率を とする． このとき，が優勝する確率を，が優勝する確率をとし， また，優勝チームがきまるまでの試合数をとして，次の問に答えよ．

  1. のとき，ととはどちらが大きいか．

  2. を最大にするの値を求めよ．

  3. の期待値を最大にするの値およびそのときのの期待値を求めよ．

✏️ 解答解説

【解答】

$A$ が先に3勝して優勝する3通りの試合経過（最終戦は必ず $A$ の勝利）

図 1: が先に3勝して優勝する3通りの試合経過（最終戦は必ず の勝利）

題意よりが優勝する場合は以下のいずれかである．

の連勝の勝敗の勝敗

従ってが優勝する確率は

である．同様に対称性からが優勝する確率は

である．(式4),(式6)をまとめて

である．

(1)

のとき，に注意して，

式

である．から，

だから，すなわち

である．(答)

(2)

前問の過程から，を最大にするを求めればよい． (式12)をで微分して

だから，に注意して

だからこれを

とおくと，これはの範囲にあるので，の増減表は以下のようになる．

極小極大

表 1: における の増減表

従って を最大にするのはまたはである． (式12)から

であり，またの時であって，

だからが従う．

以上からなので求めるの値は

である．(答)

(3)

試合数は回のいずれかであって，それぞれ, が勝つ場合の両方があるから

試合数回試合数回試合数回

である．従っての期待値をとすると:

となる．に注意して とおいて変形すると

である．

$0<p<1$ における $t=p(1-p)$ のグラフ（$p=\dfrac{1}{2}$ で最大値 $t=\dfrac{1}{4}$）

図 2: における のグラフ（ で最大値 ）

はの範囲で正であり， この範囲ではについて単調増加である． またAM-GMから

等号成立は

であるから，はで最大値をとる．(答)

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