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東京大学 前期 1974年 解答解説 このページの閲覧数
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東京大学 前期 1974年 第1問 (解答解説)

📝 問題

自然数，に対し， を十進法で書いたときの1の位の数をで表わす． ただし，自然数とは，のことである．

  1. が自然数の全体を動くとき，の取る値を全部求めよ．

  2. あらゆる自然数に対して，が成りたつことを証明せよ．

  3. が自然数の全体を動くとき，の取る値を全部求めよ．

✏️ 解答解説

【解答】

に対しても同様にを定義できるので，以下で考える． 合同式の法をとすると，

である．故におよびに対して

が成り立つ．よって以下についてのみ考えればよい．

(1)

ゆえ，である．故にについてのみ調べ ればよい．

だから，求める値は

である．(答)

(2)

は連続整数の積を因数に含むからの倍数である．

又，ここでのみ合同式の法をとすると，実際にを代入すれば

である．故にはの倍数である．

以上から，はかつの倍数，つまりの倍数である． よって　

である．

(3)

(2)の結果から

であるから，の取り得る値だけを求めればよい．(1)と同様にして，に対して

だからのみ調べれば十分である． 具体的に計算すると

であるから，求める値は

である．(答)

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