東京大学 前期 1973年 第1問 (解答解説)

\input{macros} \begin{oframed} を中心，半径の球面とし，を上の一点とする．点において線分との角度で交わる ひとつの平面の上で，点が点を中心とする等速円運動をしている．その角速度は毎秒であり，また である．点から点を観測するとき，は見え始めてから何秒間見え続けるか．またが見え始めた時点 から見えなくなる時点までの，の最大値および最小値を求めよ．ただし，球面は不透明であるものとする． \end{oframed}

【解】

\1 ただしとする． が平面上の円上を動くよう，とする． するとと置ける．でのの接平面は

であり，これと平面との交線はとなり，下図のようになる．

\includegraphics[scale=0.5]{ut-73-1.eps}

が見えるのはの領域である．これはの領域であるから，見え続ける時間として

である．(答)

次に，とおくと，

である．このでの最大小を求めればよく，ゆえ，

である．(答)