東京大学 前期 1973年 第4問 (解答解説)

\input{macros} \begin{oframed} 平面上に辺の長さがの正方形がある．この平面上でを平行移動して得られる正方形で， 点Pを中心に持つものをとする．このとき，共通部分の 面積がとなるような点Pの存在範囲を図示せよ．またこの範囲の面積を求めよ． \end{oframed}

【解】

を，平面上の

とする．Pとすれば，は

で表される．対称性から，

で考える．

\begin{zahyou}ul=10mm(-1,2) \tenretu*{P(0.75,0.75)} \YGurafu{0.5}{-0.5}{0.5} \YGurafu{-0.5}{-0.5}{0.5} \XGurafu{0.5}{-0.5}{0.5} \XGurafu{-0.5}{-0.5}{0.5} \YGurafu{0.25}{0.25}{1.25} \YGurafu{1.25}{0.25}{1.25} \XGurafu{0.25}{0.25}{1.25} \XGurafu{1.25}{0.25}{1.25} \Put\P[s]{P} \kuromaru{\P} \end{zahyou}

これらが共通部分を持つとき，

が条件で，このもとで長方形領域

が共通部分である．この面積は

である．従って，求める条件は

である．以上(式3)，(式5)，(式9)からPの存在範囲は下図斜線部(境界含む)．

\begin{zahyou}ul=30mm(-0.75,0.75) \def\Fx{1-1/(2-2X)} \def\Gx{-1+1/(2-2X)} \def\Hx{1-1/(2+2X)} \def\Mx{-1+1/(2+2X)} \YGurafu\Fx{0}{0.5} \YGurafu\Gx{0}{0.5} \YGurafu\Hx{-0.5}{0} \YGurafu\Mx{-0.5}{0} \YNurii*\Fx\Gx{0}{0.5} \YNurii*\Hx\Mx{-0.5}{0} \end{zahyou}

従って求める面積は，対称性から

である．(答)