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東京大学 前期 1972年 解答解説 このページの閲覧数
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東京大学 前期 1972年 第4問 (解答解説)

📝 問題

を実数の定数，，とするとき， に関する方程式の相異なる実根の個数を求めよ．

✏️ 解答解説

【解答】

であり，この時題意の等式

は成立しないので，

で考えれば良い．このときはだから(式1)の両辺をで割って

の相異なる実根の個数を考えれば良い． これは 平面での二つの曲線 と の交点の数と等しい． そこでの挙動を調べよう．一階微分は

である．ここで分子の第三因子について

だから増減表は以下のようになる．

表 1: の増減表

また，極限値として以下をうる．

したがって のグラフは下図のようになる．

$y = h(x)$ のグラフと漸近線（実数解の個数は直線 $y = k$ との交点数に対応）

図 1: のグラフと漸近線（実数解の個数は直線 との交点数に対応）

従ってもとめる解の数は以下の通りである．

  1. の時 1個

  2. の時 0個

  3. の時 2個

  4. の時 3個

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