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東京大学 前期 1972年 解答解説 このページの閲覧数
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東京大学 前期 1972年 第3問 (解答解説)

📝 問題

たがいに外接する定円 ， が共通接線 の同じ側にあるとする． 図のように

  1. ，， に接する円を ，

  2. ，， に接する円を ，

  3. ，， に接する円を ，

とする． このとき円 の半径を として，極限値 を， 円 の半径 と円 の半径 とを用いてあらわせ．

図 1

図 1

✏️ 解答解説

【解答】

と の接点を ，円の中身を とする． また，簡単のため とする． を図示すると下図のようになる． ここで簡単のためにから, におろした垂足をとする．

円$C_{n}$の様子

図 1: 円の様子

ピタゴラスの定理を用いて を2通りで表す． 三角形に着目すると

である．一方三角形と三角形に着目すると

である．(式3),(式7)が等しいから

である．新しく

として(式8)の両辺を で割ると

となる．初項はだから(式10)を繰り返し用いて

である．従って(式9)より

となる．

よって求める極限値は

である．

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