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東京大学 前期 1972年 解答解説 このページの閲覧数
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東京大学 前期 1972年 第6問 (解答解説)

📝 問題

図の長方形 はある国境の町をあらわし， 各線分は道路をあらわす． 図の地点 ，，， には外国への通路が開かれている． いま，ある犯人が から外国に向って逃走しようとしているが， この犯人は 以外の各交差点(を含む)において， 確率 ずつで真東または北東に通路をえらぶ． この犯人を捕えるために3人の警官を のうちの 適当な3地点に配置しようとする． どの3点に配置すれば，犯人を捕える確率 が最大となるか． また，そのときの の最大値を小数第2位まで求めよ． ただし，犯人は警官に出会わないで国境の地点に達すれば， 無事に逃げおおせるものとする．

図 1

図 1

✏️ 解答解説

【解答】

道路網と各地点 $P_j$ および $Q_j$ の位置関係

図 1: 道路網と各地点 および の位置関係

にくる確率 ， にくる確率 とおくと， 題意の犯人の移動確率より，以下のような関係が成り立つ．

また，各は何回北東方向に移動するかを考えることで以下のように場合の数・確率を計算できる．

場合の数確率

表 1: 各点 に到達する場合の数と確率

従って，各 は以下のようになる ()

表 2: 各点 に到達する確率 の一覧（ 倍した値）

従って， の最も大きい地点に警官を配置すればよく， よって である． この時，もとめる確率 は

である．

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