東京大学前期 1971年第6問 (解答解説)

\input{macros} \begin{oframed} 人で’ジャンケン’をして勝者を決めることにする．例えば，人が’紙’を出し，他の人が’石’を出せば，ただ一回で丁度一人の勝者が決まることになる．人で’ジャンケン’をして，負けた人は次の解に参加しないことにして丁度人の勝者がきまるまで’ジャンケン’を繰り返すことにする．この，回目に，はじめて丁度一人の勝者が決まる確率を求めよ． \end{oframed}

【解】

回目に人，人でジャンケンする確率をそれぞれ，とおく．また，求める確率をとおく．ジャンケンの推移する確率は以下の通り．


3人3人
3人2人
3人1人
2人2人
2人1人

よって，ジャンケンの推移から以下の漸化式を得る．

さらに，初期条件は，である．従って2から

となる．さらにこれを3に代入して

を得る．ただしである．これを1に代入すれば，求める確率は

答

である．

【解】

まずとする．事象，を


	人でジャンケンする．
	人でジャンケンする．

と定める．回目に一人の勝者が決まるのは以下のいずれかである．

$回目回目$
$回目$

(i)でを行う回数，を行う回数をとすると，

が成り立つ．ただしである．[解] でのジャンケンの推移の確率から，(i)となる確率は

式

同様に(ii)となる確率は

となる．故に求める確率は

答

となる．

この問題のOpen Issue（1件）

【解】

【解】